68^13≡（D）（mod13）设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确） 9877是素数。（错误）中国剩余定理（一）

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68^13≡（D）（mod13）设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确） 9877是素数。（错误）中国剩余定理（一）第1张

68^13≡（D）（mod13）设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确） 9877是素数。（错误）中国剩余定理（一）第2张

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集合的划分（一）

数学的整数集合用字母（D）表示。

（B）是第一个被提出的非欧几何。

A解析几何
B罗氏几何
C黎曼几何
D欧氏几何

黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线平行。

A没有直线
B无数条
C至少2条
D一条

在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（正确）

代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（错误）

集合的划分（二）

星期日用数学集合的方法表示是（A）。

A{7R|R∈Z}
B{5R|R∈Z}
C{7R|R∈N}
D{6R|R∈Z}

A={1,2}，B={3,4},A∩B=（D）。

AB
B{1,2,3,4}
CA
DΦ

将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。

A自然数集
B整数集
C小数集
D无理数集

集合的性质有（BCD）。

封闭性

互异性

确定性

无序性

星期二和星期三集合的交集是空集。（正确）

空集属于任何集合。（错误）

集合的划分（三）

S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。

发明直角坐标系的人是（C）。

A牛顿
B伽罗瓦
C笛卡尔
D柯西

如果SM分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的（B）。

A牛顿积
B笛卡尔积
C莱布尼茨积
D康拓积

空集是任何集合的子集。（正确）

任何集合都是它本身的子集。（正确）

集合的划分（四）

如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（B）。

Ax∈a
Bx的等价类=a的等价类
Cx=a
Dx的笛卡尔积=a的笛卡尔积

0与{0}的关系是（C）。

A二元关系
B等价关系
C属于关系
D包含关系

设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的（A）。

A等价类
B等价集
C等价积
D等价转换

如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（错误）

A∩Φ=A（错误）

等价关系（一）

x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。

Ax=a
Bx～a
Cx与a不相交
Dx>a

设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。

A不可能满足
B一定不满足
C一定满足
D不一定满足

星期一到星期日可以被统称为（B）。

A模3剩余类
B模7剩余类
C模1剩余类
D模0剩余类

等价关系具有的性质有（BCD）。

A反对称性
B对称性
C反身性
D传递性

所有的二元关系都是等价关系。（错误）

如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（正确）

等价关系（二）

设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。

对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。

A不确定
B{x|x∈A}
C非空集
D空集

a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。

Aa-b是m的整数倍
Ba是b的m倍
Ca*b是m的整数倍
Da+b是m的整数倍

整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（错误）

设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（错误）

模m同余关系（一）

在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。

Aa*b与c*d等价类相等
Ba+d与c-b等价类相等
Ca+c与d+d等价类相等
Da+b与c+d等价类相等

整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。

A除法
B减法
C加法
D乘法

如果今天是星期五，过了370天，是（D）。

A星期五
B星期三
C星期二
D星期四

同余理论是初等数学的核心。（正确）

整数的除法运算是保“模m同余”。（错误）

模m同余关系（二）

对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的（B）。

A整元
B负元
C零元
D正元

Zm的结构实质是（C）。

A整数环
Bm个元素
C模m剩余环
D一个集合

集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。

A一元代数运算
B二元代数运算
C对数运算
D二次幂运算

中国剩余定理又称孙子定理。（正确）

如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（正确）

模m剩余类环Zm（一）

设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。

Z的模m剩余类环的单位元是（D）。

若环R满足交换律则称为（B）。

A单位环
B交换环
C分配环
D结合环

设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（正确）

整数的加法是奇数集的运算。（错误）

模m剩余类环Zm（二）

设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。

A-ab
Bb
Ca
Dab

设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。

Aab
B-ab
Cb
Da

设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。

Aab
B-ab
Cb
Da

环R中满足ab∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）

Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）

环的概念

Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。

在模5环中可逆元有（D）个。

设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。

一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）

环的零因子是一个零元。（错误）

域的概念

不属于域的是（A）。

A(Z,+,·)
B(C,+,·)
C(R,+,·)
D(Q,+,·)

设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。

A函数
B域
C积
D元

最小的数域是（A）。

A有理数域
B整数域
C实数域
D复数域

整环一定是域。（错误）

域必定是整环。（正确）

整数环的结构（一）

对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作（C）。

Ab/a
Bb&a
Cb|a
Db^a

不属于整环的是（B）。

AZ[i]
BZ6
CZ
DZ2

在整数环中没有（A）。

A除法
B加法
C乘法
D减法

整数环是具有单位元的交换环。（正确）

整环是无零因子环。（正确）

整数环的结构（二）

能被3整除的数是（A）。

A102
B122
C92
D112

不能被5整除的数是（D）。

A220
B425
C115
D323

a与0 的一个最大公因数是（D）。

整环具有的性质包括（ACD）。

A有单位元
B有零因子
C无零因子
D交换环

在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）

整除关系是等价关系。（错误）

整数环的结构（三）

gac(234,567)=（C）

对于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。

Ad是q与r的一个最大公因数
Bd是b与r的一个最大公因数
Cd是b与q的一个最大公因数
Dd是a与r的一个最大公因数

若a=bq+r,则gac(a,b)=（C）。

Agac(b,q)
Bgac(a,r)
Cgac(b,r)
Dgac(a,q)

0是0与0的一个最大公因数。（正确）

对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。（正确）

整数环的结构（四）

gcd(56,24)=（A）

如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。

A除数和0
B余数和1
C被除数和余数
D除数和余数

对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用（C）。

A分解法
B列项相消法
C辗转相除法
D十字相乘法

计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）

用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）

整数环的结构（五）

若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。

若a与b互素，有（B）。

A(a,b)=a
B(a,b)=1
C(a,b)=b
D（a,b）=0

由b|ac及gac(a,b)=1有（C）。

Aa|c
Bb|a
Cb|c
Da|b

在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.（错误）

任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）

整数环的结构（六）

p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出（C）。

A(p,ab)=1
B(p,b)=1
Cp|b
Dp|a

若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=（D）。

对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于（A）。

A1或p
Bp
C1，a，pa
D1

所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）

a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。（正确）

整数环的结构（七）

素数的特性之间的相互关系是（C）。

A单独关系
B不可逆
C等价关系
D不能单独运用

p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是（D）。

A复数
B实数
C整数
D素数

p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。

A复数
B实数
C整数
D素数

1不是（BCD）。

A有理数
B无理数
C素数
D合数

p是素数则p的正因子只有P。（错误）

合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）

Zm的可逆元（一）

Z6的可逆元是（A）。

Z8中的零因子有（C）。

在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。

A互素
B相反数
C互合
D不互素

Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）

p是素数，则Zp一定是域。（正确）

Zm的可逆元（二）

不属于Z7的可逆元是（A）。

Z10的可逆元是（C）。

在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。

Z91中，34是可逆元。（正确）

Z81中，9是可逆元。（错误）

模P剩余类域

任一数域的特征为（D）。

A1
B无穷
Ce
D0

在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。

A错误
Bp
C任意整数
D0

在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。

A合数
B偶数
C素数
D奇数

任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）

设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）

域的特征（一）

域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。

Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1

特征为2的域是（A）。

设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）

设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）

域的特征（二）

设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）

68^13≡（D）（mod13）

设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。

A所有合数
BP
C所有素数
Da

设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）

9877是素数。（错误）

中国剩余定理（一）

剩余定理是（D）人发明的。

A古埃及
B古罗马
C古希腊
D中国

中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。

A中值定理
B儒歇定理
C韦达定理
D孙子定理

首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。

A南宋
B三国
C汉朝
D唐朝

“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）

一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）

中国剩余定理（二）

n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n=（D）。

n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n=（B）。

A177
B187
C170
D180

最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。

A秦九识
B孙武
C牛顿
D祖冲之

一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）

欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）

欧拉函数（一）

Z3的可逆元个数是（A）。

Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。

A1
Bp
Cp-1
D0

φ(m)等于（D）。

A集合{1,2…m-1}中奇数的整数的个数
B集合{1,2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
C集合{1,2…m-1}中偶数的整数的个数
D集合{1,2…m-1}中与m互素的整数的个数

求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）

在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）

欧拉函数（二）

φ(4)=（A）

当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。

设p为素数，r为正整数，Ω={1，2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。

Ap
Br
Cpr
Dpr-1

φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）

设p是素数，则φ(p)=p。（错误）

欧拉函数（三）

φ(12)=（B）

φ(10)=（B）

Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。

A算术积
B直和
C集合
D平方积

φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）

设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）

欧拉函数（四）

Φ(3)Φ(4)=（D）

AΦ(3)
BΦ(4)
CΦ(24)
DΦ(12)

Φ(7）=（D）

AΦ(1)Φ(6)
BΦ(2)Φ(5)
CΦ(3)Φ(4)
DΦ(2)Φ(9)

有序元素对相等的映射是一个（D）。

A散射
B不对等映射
C不完全映射
D单射

Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）

Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）

欧拉函数（五）

a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。

Aσ（a）是Zm的元素
Bσ（a）是Zm1的元素
Cσ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
Dσ（a）是Zm2的元素

若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。

A双射
B不完全映射
C互补映射
D集体映射

单射在满足（D）时是满射。

A两集合元素不相等
B两集交集为空集
C两集合交集不为空集
D两集合元素个数相等

属于单射的是（A）。

Ax →2x + 1
Bx →x^3 − x
Cx → e^x
Dx → ln x

数学上可以分三类函数包括（ACD）。

A单射
B反射
C满射
D双射

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）

映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）

欧拉函数（六）

根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。

A480
B1800
C180
D960

属于双射的是（A）。

Ax →2x + 1
Bx → cosx
Cx → e^x
Dx → x^2

不属于满射的是（B）。

Ax →2x + 1
Bx → x^2
Cx → x-1
Dx → x+1

既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）

x → ln x不是单射。（错误）

环的同构（一）

环R与环S同构，若R是除环则S（A）。

A一定是除环
B不一定是除环
C可能是除环
D不可能是除环

环R与环S同构，若R是域则S（A）。

A一定是域
B不一定是域
C可能是域
D不可能是域

环R与环S同构，若R是整环则S（A）。

A一定是整环
B不一定是整环
C可能是整环
D不可能是整环

同构映射有保加法和除法的运算。（错误）

环R与环S同构，则RS在代数性质上完全一致。（正确）

环的同构（二）

Z7中4的平方根有几个（A）。

Z77中4的平方根有（B）个。

二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。

A一个
B不存在
C无穷多个
D两个

在Z77中，6是没有平方根的。（正确）

Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）

Z﹡m的结构（一）

Z12*=（B）

A{3,5,7,11}
B{1,5,7,11}
C{1,5,9,11}
D{1,2,5,7}

当群G满足（C）时，称群是一个交换群。

A减法交换律
B加法交换律
C乘法交换律
D除法交换律

非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。

无数个

有且只有1一个

2个

无法确定

群具有的性质包括（ABC）。

结合律

有逆元

有单位元

分配律

在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）

Z12*是保加法运算。（错误）

Z﹡m的结构（二）

Z12*的阶为（B）。

若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。

A任意次方
B3
C6
D1

Zm*的结构可以描述成（B）。

A阶为φ(m)的交换环
B阶为φ(m)的交换群
C阶为φ(m)的交换类
D阶为φ(m)的交换域

Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）

Zm*是一个交换群。（正确）

Z﹡m的结构（三）

Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。

Z5*中2的阶是（B）。

Z5*中3的阶是（B）。

设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）

在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）

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夯范苔惰睛漂宋募餐客雌答掣

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