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集合的划分（一）
1
数学的整数集合用字母（D）表示。
- A、M
- B、W
- C、N
- D、Z
2
（B）是第一个被提出的非欧几何。
- A、解析几何
- B、罗氏几何
- C、黎曼几何
- D、欧氏几何
3
黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线平行。
- A、没有直线
- B、无数条
- C、至少2条
- D、一条
4
在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（正确）
5
代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（错误）
集合的划分（二）
1
星期日用数学集合的方法表示是（A）。
- A、{7R|R∈Z}
- B、{5R|R∈Z}
- C、{7R|R∈N}
- D、{6R|R∈Z}
2
A={1,2}，B={3,4},A∩B=（D）。
- A、B
- B、{1,2,3,4}
- C、A
- D、Φ
3
将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。
- A、自然数集
- B、整数集
- C、小数集
- D、无理数集
4
集合的性质有（BCD）。
- A、
封闭性
- B、
互异性
- C、
确定性
- D、
无序性
5
星期二和星期三集合的交集是空集。（正确）
6
空集属于任何集合。（错误）
集合的划分（三）
1
S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。
- A、4
- B、2
- C、3
- D、5
2
发明直角坐标系的人是（C）。
- A、牛顿
- B、伽罗瓦
- C、笛卡尔
- D、柯西
3
如果S、M分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的（B）。
- A、牛顿积
- B、笛卡尔积
- C、莱布尼茨积
- D、康拓积
4
空集是任何集合的子集。（正确）
5
任何集合都是它本身的子集。（正确）
集合的划分（四）
1
如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（B）。
- A、x∈a
- B、x的等价类=a的等价类
- C、x=a
- D、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积
2
0与{0}的关系是（C）。
- A、二元关系
- B、等价关系
- C、属于关系
- D、包含关系
3
设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的（A）。
- A、等价类
- B、等价集
- C、等价积
- D、等价转换
4
如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（错误）
5
A∩Φ=A（错误）
等价关系（一）
1
x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。
- A、x=a
- B、x～a
- C、x与a不相交
- D、x>a
2
设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。
- A、不可能满足
- B、一定不满足
- C、一定满足
- D、不一定满足
3
星期一到星期日可以被统称为（B）。
- A、模3剩余类
- B、模7剩余类
- C、模1剩余类
- D、模0剩余类
4
等价关系具有的性质有（BCD）。
- A、反对称性
- B、对称性
- C、反身性
- D、传递性
5
所有的二元关系都是等价关系。（错误）
6
如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（正确）
等价关系（二）
1
设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。
- A、13
- B、15
- C、12
- D、14
2
对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。
- A、不确定
- B、{x|x∈A}
- C、非空集
- D、空集
3
a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。
- A、a-b是m的整数倍
- B、a是b的m倍
- C、a*b是m的整数倍
- D、a+b是m的整数倍
4
整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（错误）
5
设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（错误）
模m同余关系（一）
1
在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。
- A、a*b与c*d等价类相等
- B、a+d与c-b等价类相等
- C、a+c与d+d等价类相等
- D、a+b与c+d等价类相等
2
整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。
- A、除法
- B、减法
- C、加法
- D、乘法
3
如果今天是星期五，过了370天，是（D）。
- A、星期五
- B、星期三
- C、星期二
- D、星期四
4
同余理论是初等数学的核心。（正确）
5
整数的除法运算是保“模m同余”。（错误）
模m同余关系（二）
1
对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的（B）。
- A、整元
- B、负元
- C、零元
- D、正元
2
Zm的结构实质是（C）。
- A、整数环
- B、m个元素
- C、模m剩余环
- D、一个集合
3
集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。
- A、一元代数运算
- B、二元代数运算
- C、对数运算
- D、二次幂运算
4
中国剩余定理又称孙子定理。（正确）
5
如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（正确）
模m剩余类环Zm（一）
1
设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。
- A、1
- B、0
- C、2
- D、a
2
Z的模m剩余类环的单位元是（D）。
- A、2
- B、0
- C、3
- D、1
3
若环R满足交换律则称为（B）。
- A、单位环
- B、交换环
- C、分配环
- D、结合环
4
设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（正确）
5
整数的加法是奇数集的运算。（错误）
模m剩余类环Zm（二）
1
设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。
- A、-ab
- B、b
- C、a
- D、ab
2
设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。
- A、ab
- B、-ab
- C、b
- D、a
3
设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。
- A、ab
- B、-ab
- C、b
- D、a
4
环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）
5
Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）
环的概念
1
Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。
- A、2
- B、4
- C、1
- D、3
2
在模5环中可逆元有（D）个。
- A、3
- B、1
- C、2
- D、4
3
设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。
- A、-a
- B、-e
- C、e
- D、a
4
一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）
5
环的零因子是一个零元。（错误）
域的概念
1
不属于域的是（A）。
- A、(Z,+,·)
- B、(C,+,·)
- C、(R,+,·)
- D、(Q,+,·)
2
设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。
- A、函数
- B、域
- C、积
- D、元
3
最小的数域是（A）。
- A、有理数域
- B、整数域
- C、实数域
- D、复数域
4
整环一定是域。（错误）
5
域必定是整环。（正确）
整数环的结构（一）
1
对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作（C）。
- A、b/a
- B、b&a
- C、b|a
- D、b^a
2
不属于整环的是（B）。
- A、Z[i]
- B、Z6
- C、Z
- D、Z2
3
在整数环中没有（A）。
- A、除法
- B、加法
- C、乘法
- D、减法
4
整数环是具有单位元的交换环。（正确）
5
整环是无零因子环。（正确）
整数环的结构（二）
1
能被3整除的数是（A）。
- A、102
- B、122
- C、92
- D、112
2
不能被5整除的数是（D）。
- A、220
- B、425
- C、115
- D、323
3
a与0 的一个最大公因数是（D）。
- A、2a
- B、1
- C、0
- D、a
4
整环具有的性质包括（ACD）。
- A、有单位元
- B、有零因子
- C、无零因子
- D、交换环
5
在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）
6
整除关系是等价关系。（错误）
整数环的结构（三）
1
gac(234,567)=（C）
- A、12
- B、6
- C、9
- D、3
2
对于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。
- A、d是q与r的一个最大公因数
- B、d是b与r的一个最大公因数
- C、d是b与q的一个最大公因数
- D、d是a与r的一个最大公因数
3
若a=bq+r,则gac(a,b)=（C）。
- A、gac(b,q)
- B、gac(a,r)
- C、gac(b,r)
- D、gac(a,q)
4
0是0与0的一个最大公因数。（正确）
5
对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。（正确）
整数环的结构（四）
1
gcd(56,24)=（A）
- A、8
- B、2
- C、4
- D、1
2
如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。
- A、除数和0
- B、余数和1
- C、被除数和余数
- D、除数和余数
3
对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用（C）。
- A、分解法
- B、列项相消法
- C、辗转相除法
- D、十字相乘法
4
计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）
5
用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）
整数环的结构（五）
1
若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。
- A、3
- B、5
- C、4
- D、2
2
若a与b互素，有（B）。
- A、(a,b)=a
- B、(a,b)=1
- C、(a,b)=b
- D、（a,b）=0
3
由b|ac及gac(a,b)=1有（C）。
- A、a|c
- B、b|a
- C、b|c
- D、a|b
4
在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.（错误）
5
任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）
整数环的结构（六）
1
p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出（C）。
- A、(p,ab)=1
- B、(p,b)=1
- C、p|b
- D、p|a
2
若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=（D）。
- A、b
- B、c
- C、a
- D、1
3
对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于（A）。
- A、1或p
- B、p
- C、1，a，pa
- D、1
4
所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）
5
a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。（正确）
整数环的结构（七）
1
素数的特性之间的相互关系是（C）。
- A、单独关系
- B、不可逆
- C、等价关系
- D、不能单独运用
2
p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是（D）。
- A、复数
- B、实数
- C、整数
- D、素数
3
p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。
- A、复数
- B、实数
- C、整数
- D、素数
4
1不是（BCD）。
- A、有理数
- B、无理数
- C、素数
- D、合数
5
p是素数则p的正因子只有P。（错误）
6
合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）
Zm的可逆元（一）
1
Z6的可逆元是（A）。
- A、1
- B、3
- C、2
- D、0
2
Z8中的零因子有（C）。
- A、1、3、5、7
- B、5、6、7、8
- C、2、4、6、0
- D、1、2、3、4
3
在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。
- A、互素
- B、相反数
- C、互合
- D、不互素
4
Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）
5
p是素数，则Zp一定是域。（正确）
Zm的可逆元（二）
1
不属于Z7的可逆元是（A）。
- A、7
- B、3
- C、5
- D、1
2
Z10的可逆元是（C）。
- A、10
- B、5
- C、7
- D、2
3
在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。
- A、38
- B、19
- C、91
- D、34
4
Z91中，34是可逆元。（正确）
5
Z81中，9是可逆元。（错误）
模P剩余类域
1
任一数域的特征为（D）。
- A、1
- B、无穷
- C、e
- D、0
2
在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。
- A、错误
- B、p
- C、任意整数
- D、0
3
在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。
- A、合数
- B、偶数
- C、素数
- D、奇数
4
任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）
5
设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）
域的特征（一）
1
域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。
- A、p
- B、a
- C、1
- D、0
2
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1
- A、
p
- B、
0
- C、
kp
- D、
1
3
特征为2的域是（A）。
- A、Z2
- B、Z5
- C、Z
- D、Z3
4
设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）
5
设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）
域的特征（二）
1
设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）
- A、0
- B、p
- C、-1
- D、1
2
68^13≡（D）（mod13）
- A、67
- B、69
- C、66
- D、68
3
设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。
- A、所有合数
- B、P
- C、所有素数
- D、a
4
设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）
5
9877是素数。（错误）
中国剩余定理（一）
1
剩余定理是（D）人发明的。
- A、古埃及
- B、古罗马
- C、古希腊
- D、中国
2
中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。
- A、中值定理
- B、儒歇定理
- C、韦达定理
- D、孙子定理
3
首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。
- A、南宋
- B、三国
- C、汉朝
- D、唐朝
4
“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）
5
一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）
中国剩余定理（二）
1
n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n=（D）。
- A、56
- B、60
- C、54
- D、58
2
n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n=（B）。
- A、177
- B、187
- C、170
- D、180
3
最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。
- A、秦九识
- B、孙武
- C、牛顿
- D、祖冲之
4
一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）
5
欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）
欧拉函数（一）
1
Z3的可逆元个数是（A）。
- A、2
- B、0
- C、3
- D、1
2
Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。
- A、1
- B、p
- C、p-1
- D、0
3
φ(m)等于（D）。
- A、集合{1,2…m-1}中奇数的整数的个数
- B、集合{1,2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
- C、集合{1,2…m-1}中偶数的整数的个数
- D、集合{1,2…m-1}中与m互素的整数的个数
4
求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）
5
在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）
欧拉函数（二）
1
φ(4)=（A）
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
2
当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。
- A、10
- B、7
- C、8
- D、2
3
设p为素数，r为正整数，Ω={1，2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。
- A、p
- B、r
- C、pr
- D、pr-1
4
φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）
5
设p是素数，则φ(p)=p。（错误）
欧拉函数（三）
1
φ(12)=（B）
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
2
φ(10)=（B）
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
3
Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。
- A、算术积
- B、直和
- C、集合
- D、平方积
4
φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）
5
设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）
欧拉函数（四）
1
Φ(3)Φ(4)=（D）
- A、Φ(3)
- B、Φ(4)
- C、Φ(24)
- D、Φ(12)
2
Φ(7）=（D）
- A、Φ(1)Φ(6)
- B、Φ(2)Φ(5)
- C、Φ(3)Φ(4)
- D、Φ(2)Φ(9)
3
有序元素对相等的映射是一个（D）。
- A、散射
- B、不对等映射
- C、不完全映射
- D、单射
4
Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）
5
Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）
欧拉函数（五）
1
a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。
- A、σ（a）是Zm的元素
- B、σ（a）是Zm1的元素
- C、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
- D、σ（a）是Zm2的元素
2
若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。
- A、双射
- B、不完全映射
- C、互补映射
- D、集体映射
3
单射在满足（D）时是满射。
- A、两集合元素不相等
- B、两集交集为空集
- C、两集合交集不为空集
- D、两集合元素个数相等
4
属于单射的是（A）。
- A、x →2x + 1
- B、x →x^3 − x
- C、x → e^x
- D、x → ln x
5
数学上可以分三类函数包括（ACD）。
- A、单射
- B、反射
- C、满射
- D、双射
6
对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）
7
映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）
欧拉函数（六）
1
根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。
- A、480
- B、1800
- C、180
- D、960
2
属于双射的是（A）。
- A、x →2x + 1
- B、x → cosx
- C、x → e^x
- D、x → x^2
3
不属于满射的是（B）。
- A、x →2x + 1
- B、x → x^2
- C、x → x-1
- D、x → x+1
4
既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）
5
x → ln x不是单射。（错误）
环的同构（一）
1
环R与环S同构，若R是除环则S（A）。
- A、一定是除环
- B、不一定是除环
- C、可能是除环
- D、不可能是除环
2
环R与环S同构，若R是域则S（A）。
- A、一定是域
- B、不一定是域
- C、可能是域
- D、不可能是域
3
环R与环S同构，若R是整环则S（A）。
- A、一定是整环
- B、不一定是整环
- C、可能是整环
- D、不可能是整环
4
同构映射有保加法和除法的运算。（错误）
5
环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。（正确）
环的同构（二）
1
Z7中4的平方根有几个（A）。
- A、2
- B、0
- C、3
- D、1
2
Z77中4的平方根有（B）个。
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
3
二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。
- A、一个
- B、不存在
- C、无穷多个
- D、两个
4
在Z77中，6是没有平方根的。（正确）
5
Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）
Z﹡m的结构（一）
1
Z12*=（B）
- A、{3,5,7,11}
- B、{1,5,7,11}
- C、{1,5,9,11}
- D、{1,2,5,7}
2
当群G满足（C）时，称群是一个交换群。
- A、减法交换律
- B、加法交换律
- C、乘法交换律
- D、除法交换律
3
非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。
- A、
无数个
- B、
有且只有1一个
- C、
2个
- D、
无法确定
4
群具有的性质包括（ABC）。
- A、
结合律
- B、
有逆元
- C、
有单位元
- D、
分配律
5
在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）
6
Z12*是保加法运算。（错误）
Z﹡m的结构（二）
1
Z12*的阶为（B）。
- A、8
- B、4
- C、6
- D、2
2
若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。
- A、任意次方
- B、3
- C、6
- D、1
3
Zm*的结构可以描述成（B）。
- A、阶为φ(m)的交换环
- B、阶为φ(m)的交换群
- C、阶为φ(m)的交换类
- D、阶为φ(m)的交换域
4
Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）
5
Zm*是一个交换群。（正确）
Z﹡m的结构（三）
1
Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。
- A、4
- B、1
- C、3
- D、6
2
Z5*中2的阶是（B）。
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
3
Z5*中3的阶是（B）。
- A、2
- B、4
- C、3
- D、1
4
设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）
5
在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）
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